Download Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch: by Josef Trölß PDF

By Josef Trölß

Das Buch richtet sich an Sch?ler, Studenten, Naturwissenschaftler sowie Anwender, die sich ?ber die Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier- und Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen und Differenzengleichungen informieren und die Vorz?ge von Mathcad nutzen m?chten. Es stellt die theoretischen Grundlagen zusammenfassend dar und bietet in der three. Auflage noch mehr Beispiele. Au?erdem wurde es entsprechend der Mathcad model 14 ?berarbeitet.

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Read Online or Download Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch: Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen, 3. Auflage PDF

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Dann gilt für eine beliebige Entwicklungsstelle x0  [a,b]: ∞ ¦ Die Taylorreihe f ( x) = º ª« f( n) x 0 n» « n ˜ x  x0 » konvergiert für alle x  [a,b] , und es ist ¬ ¼ n 0 ∞ º ª« f( n) x 0 n» « n ˜ x  x0 » . ¬ ¼ ¦ n 0 (2-10) Sie kann auch als Summe von Taylorpolynom und Restglied geschrieben werden: n f ( x) = ¦ k 0 º ª« f( k) x 0 k» « k ˜ x  x0 »  Rn1( x) . ¬ ¼ (2-11) Rn+1 (x) bezeichnet man als Restglied, weil es den Unterschied von f(x) zum Taylorpolynom angibt. Die Taylorreihe wird auch MacLaurin-Reihe genannt.

01  2 1 ln( 1 x)  1 1 0 1 ln( 1 x)  1 p2( x) 0 1 p3( x) 1 1 2 2 x x Abb. 13 Abb. 16: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = tan(x)? f ( x) = tan ( x) x0  0 gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Redefinition x x 3 5 7 9 11 x 2˜ x 17 ˜ x 62 ˜ x 1382 ˜ x tan ( x) Reihen x = x0 14 o x      15 315 2835 155925 3 3 sin ( x) 5 7 9 13  11 x 2˜ x 17 ˜ x 62 ˜ x 1382 ˜ x Reihen x = x0 14 o x      cos ( x) 15 315 2835 155925 3 21844 ˜ x 6081075 13  21844 ˜ x 6081075 Die Taylorreihe für tan(x) kann damit auch durch die gliedweise Division von Sinus- und Kosinusreihe gefunden werden.

4 ª§ 2  5 · ˜ xkº konvergiert daher für x  3. 7: Für die Funktion f(x) = ln(1- x/2) soll zuerst die Potenzreihe um x0 = 0 für die Ableitungsfunktion f '(x) bestimmt werden. Aus der Potenzreihe für die Ableitungsfunktion f '(x) soll dann die Reihenentwicklung für die Funktion f(x) berechnet werden. 1 2 f ' ( x) = 1 Die Ableitungsfunktion ist eine gebrochenrationale Funktion. x 2 Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s = f ' ( x) =  1 2 ∞ ˜ ¦ n ∞ n 0 §x· ¨ ¸ = © 2¹ 1 q (siehe dazu (1-45), Band 3) erhalten wir: n ¦ n a x n1 gesuchte Reihendarstellung für die Ableitungsfunktion 0 2 Seite 18 Potenzreihen Um die Reihe zu f(x) zu bestimmen, wird integriert: ´ x· µ § f ( x) = ln ¨ 1  ¸ = µ  2¹ µ © ∞ ¦ n 1 0 2 n µ ¶ ∞ n x dx =  ´ µ µ µ 0 µ ¶ ¦ n ∞ n x n 1 dx =  2 n 1 x ¦ n 1 C 0 ( n  1) ˜ 2 n Um die Konstante zu bestimmen, wird x = 0 eingesetzt: Aus ln(1-0) = 0 folgt C = 0.

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